Статистические термины и их понятия.

• Среднее

  Среднее (оно же арифметическое среднее) - это сумма значений, деленная на число значений в ряде. Недостатком среднего является является то, что оно может быть искажено чрезвычайно большими или малыми значениями. К примеру, среднее значение ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 500 равно 74.43 (521/7).
  Если убрать значение 500, то среднее этого ряда будет 3.5, что больше соответствует действительности.

  ---

• Медиана

  Медианное значение помогает проверять насколько представительным ялвяется среднее значение.
  Медиана равна ряда данных равно его центральному значению (когда ряд имеет нечетное число элементов) или среднему двух центральных элементов (когда ряд имеет четное число элементов)

  Медиана менее подвержена искажению ввиду наличия очень больших или маленьких значений в ряде данных. К примеру, медиана ряда данных 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 500 равна 4, что больше соответствует истинне. Если бы наш ряд имел значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 500, то медиана равнялась бы 4.5 ((4+5)/2)

  ---

• Мода

  Мода - это значение, которое появляется наибольшее количество раз. В примеру выше, моды нет, т.к. все числа повторяются один раз.

  В ряде данных может быть 1 или 2 моды. К примеру, в ряде данных 1, 4, 6, 6, 7, 8, 9 - модой является число 6;
  в ряде данных 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7 - модой являются числа 4 и 6.

  ---

• Дисперсия

  Дисперсия - это мера разброса возможных исходов относительно среднего (ожидаемого) значения. Следовательно, чем выше дисперсия, тем больше разброс, а значит и риск. Формула для расчета дисперсии следующая:

  σ² =Σ(r_i - r _сред)² / (n - 1),                                                      

  
  где r_i - доходность актива,
  r _сред - ожидаемая (средняя) доходность актива,
  n - число наблюдений.

  ---

• Стандартное отклонение

  Стандартное отклонение (оно же арифметическое Станд. отклонение) - это показатель, упрощающий анализ дисперсии и поэтому чаще встречающийся. Т.к. дисперсия измеряется в процентах в квадрате, что очень непривычно и тяжело, стандартное отклонение упорядочивает дисперсию за счет взятия квадратного корня из дисперсии.

  Формула стандартного отклонения:

  σ_P = √ σ²,                                                                                  

  В трейдинге стандартное отклонение является изиерителем Риска. Чем выше стандартное отклонение, тем выше риск. К примеру, стандартное отклонение равное 20% означает, что Средняя (ожидаемая) доходность может отклониньтся по итогам периода наблюдения на 20% как вверх, так и вниз.

  ---

• Стандартная ошибка

  Стандартная ошибка говорит о степени точности результатов и служит мерой разброса значений определенного показателя относительного его среднего значения.

  Формула стандартной ошибки:

  СО = 1 / √ N,                                                                                     

  где N - число сделок.

  Например, имеется 10 сделок, средний выигрыш которых составляет $200. Стандартная ошибка составляет ~ 30%. Таким образом, величина среднего выигрыша будет колебаться $200 +/- 30%. Чем больше сделок, тем меньше СО и тем более достоверны результаты.

  ---

• Ожидаемая доходность

  Ожидаемая доходность ни что иное, как просто среднее значение. Ожидаемая доходность позволяет определить, что нам "ожидать" по окончании заданного нами периода.

  Формула ожидаемой доходности - Сумма доходностей за все периоды исследования / количество периодов.

  ---

• Ковариация

  Ковариация - это мера, учитывающая дисперсию индивидуальных значений доходности бумаги и силу связей между изменениями доходностей данной бумаги и других. Более простое определение ковариации - это мера взаимодействия двух случайных переменных.

  Расчет ковариации следующий:

  Cov(X,Y) = Σ(r_X - r_Xсред.)×(r_Y - r_Yсред.) / n - 1,                                      (3.1)

  где r_X и r_Y - доходности активов X и Y,
         r_Xсред. и r_Yсред. - ожидаемые (средние) доходности активов X и Y,
         n - число наблюдений.

  Интерпретация коэффициента следующая: положительное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в одном направлении, отрицательное значение ковариации говорит о разнонаправленных движениях между доходнястями. Ковариация является низкой, если колебания доходностей двух активов в любую сторону носят случайный характер.

  Интерпретировать ковариацию, также как и дисперсию довольно тяжело ввиду больших численных значений, поэтому практически всегда для измерения силы взаимосвязи между двумя активами используется коэффициент корреляции.

  ---

• Корреляция

  Коэффициент корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Значение корреляции +1 говорит о сильной взаимосвязи, т.е. активы ходят одинаково. значение -1, наоборот, свидетельствует о разнонаправленности, т.е. рост одного из активов сопровождается падением другого. Значение 0 говорит об отсутсвии корреляции.

  Формула корреляции:

  ρ = Cov (X,Y) / (σ_X × σ_Y),                                                                     (3.2)

  где Cov (X,Y) - ковариация между активами X и Y;
        σ_X и σ_Y - стандартные отклонения активов X и Y.

  ---

• Коэффициент Бета

  Бета коэффициент - это коэффициент, отражающий взаимосвязь между двумя переменными, а именно - оценивает чувствительность одной переменной (доходность акций) к другой переменной (к примеру рыночного индекса, ММВБ10, РТС, DJIA, S&P500).

  Бета коэффициент может принимать положительные значения, лежащие от 0 и выше. Например, значение "бета" больше 0 говорит о положительной корреляции между данной акцией и индексом ММВБ10 (в нашем примере), т.е. рост индекса, равно как и его падение сопровождается ростом/падением акции, однако с разной скоростью, о которой и говорит показатель бета-коэффициента. Например, значение "бета" 1.5 говорит о том, что изменчивость доходности данной акции выше в 1.5 раза, чем у индекса. Если индекс вырос на 1%, то наша акция на 1.5%, то же самое верно и для падения.

  Значение "бета" 0 сигнализирует о том, что изменчивость доходности акции практически никак не зависит от изменчивости фондового индекса. Довольно часто акции, имеющие бета-коэффициент выше 0, но меньше 1 называют оборонительными (defensive stocks).

  Формула бета коэффицента следующая:

  β =Cov(X,Y)/σ²_M

  где Cov (X,Y) - ковариация между активами X и Y;
        σ²_M - дисперсия индекса ММВБ10.

Где Vami 0 = 1000 и
где R _N  =  Доход за период N

CAGR

CAGR (Compound Annual Growth Rate - средне-геометрический годовой темп прироста) - это формула, которая позволяет получить более "сглаженную" норму доходности. CAGR показывает инвесторам, что они "реально" имеют на конец инвестиционного периода.

К примеру, предположим, что вы инвестировали 1000 в начале 2003г. и в конце года эта инвестиция выросла до 3000, дав 200% прироста. По результатам следующего года вы потеряли 50% и ваш конечный результат составил 1500 в конце 2004 года.

Для того, что определить какую доходность вы получили за этот период, рассчитаем ее с использование Среднего. Средний доход за этот период равняется 75% (200%+(-50%)/2), что не правильно, т.к. по результатам этого двухгодичного периода наш капитал равнялся 1500, а не 3063 ( 1000 по 75% в год: 1000 (1.75)*(1.75). Чтобы рассчитать истинную среднюю годовую доходность нужно рассчитать CAGR.

CAGR = (Конечное состояние счета / Начальное состояние счета) ^{(1 / кол-во лет)} - 1

Подставляя значения в формулу CAGR, мы получаем ставку процента 22.47%. Таким образом при ежегодной ставке прироста в 22.47% мы получил по итогам второго года сумму счета в 1500

Показатели Риска

Стандартное отклонение

Расчет стандартного отклонения смотрите выше. Для того, чтобы получить годичное стандартное отклонение, нужно стандартное отклонение, рассчитанное по месячным данным умножить на квадратный корень из 12.

σ_год. = σ_мес × √12,

Геометрическое Стандартное отклонение (Geometric Standard Deviation GSD)

Основное назначение Геометрического стандартного отклонения то же, что и у арифметического, т.е. изучение разброса значений доходности вокруг своего геометрического среднего или CAGR. Использовать GSD надо только если вы рассчитали геометрическое среднее (CAGR), а не арифметическое.

Вообще желательно и даже лучше в анализе какого-либо ряда данных (к примеру, ежемесячных доходностей) использовать Геометрическое среднее (CAGR) и геометрическое стандартное отклонение.

Формула GSD:

• Изначально трансформируйте ваши доходности в коэффициент, к примеру, доходность за период 20% разделим на 100 и прибавим 1, что даст 1.2
• Возьмите простые логарифмы (Log) из ваших коэффициетов и найдите сумму всех значений.
• Найдите арифметическое среднее "Суммы всех значений логарифмов".
• Найдите арифметическое стандартное отклонение логарифмов коэффициентов.
• Найдите антилогарифм арифметического стандартного отклонения: 10^{ариф.станд. отклонение} - что и даст вам GSD.

Пример

Есть ряд доходностей: 5%, 2.4%, 0.7%, 10%, -2%

1. Преобразуем эти доходности в коэффиценты, что даст: 1.05 (5/100 + 1), 1.024, 1.007, 1.1, 0.98
2. Найдем их логарифмы: log (1.05) = 0.021, 0.01, 0.003, 0.041, -0.009 и далее их сумму: 0.021+0.01+0.003+0.041-0.009 = 0.066
3. Арифметическое среднее: 0.066 / 5 = 0.0132
4. Арифметическое станд. отклонение = 0.019
5. Геометрическое станд. отклонение = 10 ^0.019 = 1.045 или 4.5%.

DownSide Deviation

Downside Deviation (Нисходящий риск) - более полезная на мой взгляд мера риска. Нисходящий риск берет в расчет только те доходности, которые ниже заданного уровня MAR (MAR - minimum acceptable return - минимально приемлемая доходность).

Допустим, что MAR = 10%, тогда в расчет Нисходящего риска будут приниматься только те доходности, которые оказались по итогам периода ниже 10%

Формула Нисходящего риска:

Расчет происходит в два этапа. На первом этапе нужно найти разности доходностей с MAR, которые ниже MAR. На втором этапе нужно возмести в квадрат каждую разность из этапа 1 и разделить на количество наблюдений.

L = R _I - R _MAR (Если R_I - R _MAR < 0) или 0 (Если R _I - R _MAR >= 0)

Примечание!!! Если доходность за период больше 0, но меньше MAR, то этот период в расчет Нисходящего риска должен равняться 0

DownSide Deviation = √ (( Σ (L)²) / N )

Где R _I = Доходность за период I

            Где N = Число периодов N

            где R _MAR = Минимально требуемая доходность для периода

Максимальная просадка счета (Maximum Equity Drawdown).

Maximum drawdown - одна из наиболее используемых мер риска. Maximum drawdown - это максимальная "глубина" падения стоимости активов от своего максимального значения до установления нового максимума стоимости активов.

Например, предположил, что ваш капитал вырос до отметки в 100р. Затем он стал снижаться и упал до 80р. Далее ваш счет вновь стал потихоньку расти и превысил максимальное предыдущее значение равно 100р. Так вот, как только счет превысил предыдущий исторически максимум в 100р., вы находите до какого минимума счет падал прежде чем преодолел максимум. В нашем случае, счет упал до отметки в 80р., что говорит о том, что maximum drawdown (просадка счета) составляет 20% ( (100 - 80) / 100)

Чем меньше значение max dd, тем, конечно же, лучше.

Показатели Риск/Доход

Коэффициент Шарпа (Sharpe Ratio)

Коэффициент Шарпа один из популярнейших показателей, используемых инвесторами для сопоставления риска и доходности. В формуле используется безрисковая доходность. Безрисковой доходностью Шарп считает доходность по самым надежным облигациям. В знаменателе используется стандартное отклонение.

Коэффициент Шарпа = (Средняя доходность за наблюдаемый период - Безрисковая доходность) / Стандартное отклонение.

Коэффициент Сортино (Sortino Ratio)

Коэффициент Сортино на мой взгляд более правдоподобен в соотношении риска и доходности. Дело в том, что в своем расчете коэффициент Сортино использует нисходящий риск, а не стандартное отклонение в качестве меры риска, а в числителе используется CAGR и не безрисковая ставка доходности, а заданный вами же MAR.

Коэффициент Сортино = (CAGR - MAR) / Downside Deviation

Коэффициент Калмара (Calmar Ratio)

Коэффициент Калмара довольно неплохой коэффициента риска/доходности, которые в своем расчете использует максимальную просадку счета (maximum drawdown - Max DD). В числителе стоит CAGR за последние 3 года торговли, а знаменатель состоит из максимальной просадки в % за этот трехлетний период. Если трехлетней истории торгов нет, то используется допустная информация о результатах торговли.

Calmar Ratio = CAGR / max DD

Коэффициент Стерлинга (Sterling Ratio)

В числителе в качестве показателя доходности используется CAGR за последние три года, а риск (т.е. знаменатель) определяется исходя из средней максимальной просадки счета за 3 года, которая должна быть меньше 10%. Под средней максимальной просадкой счета за 3 года понимается следующее: к примеру, за 2003 год max dd был 8%, за 2004 год max dd был 9% и за 2005 года max dd был 9.5%. Средний max DD за этот трехлетний период рассчитывается так: (max dd 2003 + max dd 2004 + max dd 2005) / 3 или (8 + 9 +9.5) / 3 = 8.5

Sterling Ratio = CAGR / (Average DD - 10%)

Средняя прибыль / Средний убыток (Average Win / Average Loss)

Довольно полезный показатель, которые говорит о том во сколько раз средняя прибыльная сделка больше средней убыточной сделки.
Рассчитывается показатель очень просто: средняя прибыльная сделка (сумма всех прибыльных сделок деленное на их количество) делится на среднюю убыточную сделку (сумма всех убыточных сделок деленное на их количество).

Средняя прибыль / Средний убыток

Эталонные показатели (Benchmark Ratios)

Верхний захват (Up Capture Ratio)

Коэффициент UP Capture в своем числителе измеряет совокупную доходность инвестиции, когда Эталон (Benchmark - к примеру, рыночный индекс РТС) вырос, а в знаменателе совокупную доходность эталона, когда Эталон вырос за определенный период.

Чем выше значение этого показателя, тем лучше.

Где R _I = Доходность за период I

Где R _DI = Доходность эталона за период I

Где N = Число периодов N

L _I = R _I (Если RD _I >= 0) или 0 (Если RD _I < 0)

LD _I = R _DI (Если RD _I >= 0) или 0 (Если RD _I < 0)

Нисходящий заxват (Down Capture)

Down Capture рассчитывается аналогично UP Capture только здесь в расчет берется совокупная доходность инвестиции, когда Эталон упал за определенный период и деленная на совокупную доходность Эталона, когда Эталон упал.

Чем меньше значение этого показателя, тем лучше.